12. Площадь прямоугольного треугольника равна $$\frac{722\sqrt{3}}{3}$$.Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с углом C = 90°. Площадь треугольника равна (722√3)/3, один из острых углов (угол A) равен 30°. Необходимо найти длину катета BC, лежащего напротив угла A.

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить как половину произведения катетов:

$$ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC $$

Также известно, что тангенс угла A равен отношению противолежащего катета BC к прилежащему AC:

$$\tan A = \frac{BC}{AC} $$

Выразим AC через BC и tg A:

$$ AC = \frac{BC}{\tan A} $$

Подставим в формулу площади:

$$ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{BC}{\tan A} \cdot BC = \frac{BC^2}{2 \tan A} $$

Выразим BC^2:

$$ BC^2 = 2S \tan A $$

Тангенс угла 30° равен √3/3:

$$\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

Подставим известные значения:

$$ BC^2 = 2 \cdot \frac{722\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2 \cdot 722 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 722}{3} = \frac{1444}{3} $$

Найдем BC:

$$ BC = \sqrt{\frac{1444}{3}} = \frac{\sqrt{1444}}{\sqrt{3}} = \frac{38}{\sqrt{3}} = \frac{38\sqrt{3}}{3} $$

Ответ: $$\frac{38\sqrt{3}}{3}$$