В треугольнике АВС угол АСВ равен 60°, ВМ и ВН — медиана и высота соответственно. Найдите длину стороны АС, если ВС = ВМ = 15.

Решение:

В треугольнике ВМС, так как ВМ — медиана, точка М — середина стороны АС. Следовательно, \( AM = MC \).

Дано, что \( BC = BM = 15 \). Значит, треугольник ВМС — равнобедренный.

Угол ВМС смежный с углом ВМА. Угол ВМС равен \( 180° - 60° = 120° \).

В равнобедренном треугольнике ВМС углы при основании равны. Угол ВСМ = 60°, значит, угол СВМ = \( (180° - 120°)/2 = 30° \).

Так как ВН — высота, то угол ВНС = 90°.

В треугольнике ВНС, угол ВСН = 60°, угол ВНС = 90°. Значит, угол СВН = \( 180° - 90° - 60° = 30° \).

Угол СВМ = 30°, угол СВН = 30°. Это значит, что медиана ВМ и высота ВН совпадают. Это возможно только в равнобедренном треугольнике АВС, где \( AC = BC \).

Так как \( BC = 15 \) и \( BC = BM = 15 \), а \( AC = BC \), то \( AC = 15 \).

Ответ: 15.