10. В треугольнике АВС стороны АВ И ВС равны, ∠ACB = 75°. На стороне ВС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками В и У, АХ = ВХ и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка АУ, если АХ = 20.

Т.к. АВ=ВС, то треугольник АВС равнобедренный, следовательно углы ВАС и ВСА равны. Угол ВСА=75 (по условию), тогда и угол ВАС=75. Угол АВС=180-75-75=30. Т.к. АХ=ВХ, то треугольник АВХ - равнобедренный, а значит углы ВАХ и АВХ равны. Т.е. угол ВАХ=30. По условию угол ВАХ=УАХ, значит угол УАХ=30. Тогда угол ВАУ=30+30=60. Рассмотрим треугольник АВУ: угол АВУ=30, угол ВАУ=60, тогда угол АУВ=180-30-60=90. Треугольник АВУ - прямоугольный. АВ=20 (по условию АХ=ВХ=20), значит АУ=АВ/2=20/2=10 (против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы).

Ответ: 10