12.30. В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны 13 см, сторона ВС – 10 см. Точка К удалена от плоскости АВС на 8 см, а от вершины A – на 10 см. Известно, что прямые АК и ВС перпендикулярны. Найдите расстояние от точки К до прямой ВС.

Пусть K' - проекция точки K на плоскость ABC. Тогда KK' = 8 см. Пусть H - основание перпендикуляра, опущенного из точки K на прямую BC. Тогда KH - искомое расстояние.

В треугольнике ABC стороны AB = AC = 13 см, BC = 10 см. Высота AH, опущенная на BC, является и медианой. Значит, BH = HC = 5 см. По теореме Пифагора, AH = √(AB² - BH²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см.

Так как прямые AK и BC перпендикулярны, то AK = 10 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник AKK', где K' - проекция точки K на плоскость ABC. Тогда KK' = 8 см. По теореме Пифагора, AK' = √(AK² - KK'²) = √(10² - 8²) = √(100 - 64) = √36 = 6 см.

Расстояние от точки K до прямой BC можно найти из прямоугольного треугольника K'H. По теореме Пифагора, K'H = √(AH² - AK'²) = √(12² - 6²) = √(144 - 36) = √108 = 6√3 см.

Тогда KH = √(KK'² + K'H²) = √(8² + (6√3)²) = √(64 + 108) = √172 = 2√43 см.

Ответ: 2√43 см.