12.29. Сторона равностороннего треугольника АВС равна 6 см. Точка М удалена от плоскости АВС на 1 см, а от вершины В на 2 см. Известно, что прямые МВ и АС перпендикулярны. Найдите расстояние от точки М до прямой АС.

Пусть M' - проекция точки M на плоскость ABC. Так как треугольник ABC равносторонний, то все его углы равны 60°. Пусть H - основание перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую AC. Тогда MH - искомое расстояние.

Так как прямые MB и AC перпендикулярны, то угол между ними равен 90°. Рассмотрим прямоугольный треугольник MBB', где B' - проекция точки B на плоскость ABC. Тогда BB' = 2 см (по условию) и MB = √(MH² + BH²).

В равностороннем треугольнике ABC высота BH равна (a√3)/2, где a - сторона треугольника. Значит, BH = (6√3)/2 = 3√3 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MM'A. M' - проекция точки M на плоскость ABC. MM' = 1 см (по условию). Также M'H - расстояние от проекции точки M до прямой AC.

Так как M'B = 2 см и MM' = 1 см, то MB = √(MM'² + M'B²) = √(1² + (3√3)²) = √(1 + 27) = √28 = 2√7 см.

Так как MH - искомое расстояние от точки M до прямой AC, то MH = √(MB² - BH²) = √((2√7)² - (3√3)²) = √(28 - 27) = √1 = 1 см.

Ответ: 1 см.