3. В треугольнике АВС с тупым углом АВС проведены высоты АА1 и СС1. Докажите, что треугольники А1ВС1 и АВС подобны.

Рассмотрим треугольник ABC, где угол ABC - тупой. Проведены высоты $$AA_1$$ и $$CC_1$$. Докажем, что треугольники $$A_1BC_1$$ и $$ABC$$ подобны. Высоты $$AA_1$$ и $$CC_1$$ образуют прямые углы с соответствующими сторонами, то есть $$\angle AA_1B = 90^{\circ}$$ и $$\angle CC_1B = 90^{\circ}$$. Рассмотрим четырехугольник $$A_1ACC_1$$. Сумма углов четырехугольника равна $$360^{\circ}$$. Следовательно, $$\angle A_1AC + \angle A_1CC_1 + \angle C_1CA + \angle C_1AA_1 = 360^{\circ}$$. Так как $$\angle AA_1B = 90^{\circ}$$ и $$\angle CC_1B = 90^{\circ}$$, четырехугольник $$A_1BCC_1$$ является вписанным (сумма противоположных углов равна $$180^{\circ}$$). Значит, вокруг него можно описать окружность. В этой окружности $$\angle BA_1C_1 = \angle BAC$$ и $$\angle BC_1A_1 = \angle BCA$$, так как они опираются на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники $$A_1BC_1$$ и $$ABC$$ подобны по двум углам.