2. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты ВВ1 и СС1. Докажите, что углы ВВ1С1 и ВСС1 равны.

Рассмотрим четырехугольник $$AB_1HC_1$$, где H - точка пересечения высот $$BB_1$$ и $$CC_1$$. Так как $$BB_1$$ и $$CC_1$$ высоты, то $$\angle AB_1H = \angle AC_1H = 90^{\circ}$$. Следовательно, около четырехугольника $$AB_1HC_1$$ можно описать окружность (так как сумма противоположных углов равна $$180^{\circ}$$). Углы $$BB_1C_1$$ и $$BAC$$ опираются на одну дугу $$B_1C_1$$ в этой окружности, поэтому $$\angle BB_1C_1 = \angle BAC$$. Аналогично, рассмотрим четырехугольник $$BCC_1B_1$$. Он также является вписанным, так как углы $$BB_1C$$ и $$BC_1C$$ прямые, и их сумма равна $$180^{\circ}$$. Тогда угол $$BCC_1$$ равен углу $$BB_1C$$, т.е. $$\angle BCC_1 = \angle BAC$$, так как оба опираются на дугу $$BC_1$$. Из этого следует, что $$\angle BB_1C_1 = \angle BCC_1$$, что и требовалось доказать.