В треугольнике АВС известно, что АВ = BC, AC = 8, tg∠BAC=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Найдите длину стороны АВ.

Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = BC), углы при основании AC равны, то есть ∠BAC = ∠BCA. Опустим высоту BH на основание AC. Так как треугольник равнобедренный, высота также является медианой, поэтому AH = HC = \(\frac{1}{2}\) AC = \(\frac{1}{2}\) ⋅ 8 = 4.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Тангенс угла ∠BAC равен отношению противолежащего катета BH к прилежащему катету AH:

\(tg∠BAC = \frac{BH}{AH}\)

Подставим известные значения:

\(\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{BH}{4}\)

Отсюда найдем BH:

\(BH = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\)

Теперь, когда известны катеты AH и BH, найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора:

\(AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 8} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\)