В треугольнике АВС известно, что АС = ВС, AB=14, tg A = 3/√39. Найдите длину стороны АС.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) проведем высоту CD к основанию AB. Высота CD является также медианой, поэтому AD = DB = AB/2 = 14/2 = 7.

В прямоугольном треугольнике ADC:

\( \text{tg A} = \frac{CD}{AD} \)

Нам известно, что \( \text{tg A} = \frac{3}{\sqrt{39}} \) и \( AD = 7 \).

Отсюда:

\( \frac{CD}{7} = \frac{3}{\sqrt{39}} \)

\( CD = \frac{21}{\sqrt{39}} \)

Теперь найдем гипотенузу AC в прямоугольном треугольнике ADC по теореме Пифагора:

\( AC^2 = AD^2 + CD^2 \)

\( AC^2 = 7^2 + \left(\frac{21}{\sqrt{39}}\right)^2 \)

\( AC^2 = 49 + \frac{441}{39} \)

\( AC^2 = 49 + \frac{147}{13} \)

\( AC^2 = \frac{49 \cdot 13 + 147}{13} \)

\( AC^2 = \frac{637 + 147}{13} \)

\( AC^2 = \frac{784}{13} \)

\( AC = \sqrt{\frac{784}{13}} = \frac{\sqrt{784}}{\sqrt{13}} = \frac{28}{\sqrt{13}} \)

Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{13} \) для рационализации знаменателя:

\( AC = \frac{28\sqrt{13}}{13} \)

Ответ: \( \frac{28\sqrt{13}}{13} \).