9 В треугольнике АВС известно, что АС = ВС, AB=18, tgA=\(\frac{2\sqrt{22}}{9}\). Найдите длину стороны АС. Ответ:

Краткое пояснение: Используем теорему косинусов и свойства равнобедренного треугольника, чтобы найти длину стороны AC.

1. В треугольнике ABC, AC = BC, следовательно, углы при основании равны: \(\angle A = \angle B\).
2. Найдем косинус угла A, зная тангенс:

Известно, что \(tg A = \frac{2\sqrt{22}}{9}\). Также известно, что \(tg^2 A + 1 = \frac{1}{cos^2 A}\).

Тогда: \[\frac{1}{cos^2 A} = \left(\frac{2\sqrt{22}}{9}\right)^2 + 1 = \frac{4 \cdot 22}{81} + 1 = \frac{88}{81} + 1 = \frac{169}{81}\]

Следовательно, \[cos^2 A = \frac{81}{169}\]

Поскольку угол A острый, \(cos A > 0\), поэтому \[cos A = \sqrt{\frac{81}{169}} = \frac{9}{13}\]

3. Применим теорему косинусов для стороны AB:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot cos C\]

Так как AC = BC: \[AB^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot cos C\]

Выразим \(cos C\) через \(cos A\). Угол C равен \(180^\circ - 2A\), поэтому: \[cos C = cos(180^\circ - 2A) = -cos(2A)\]

Используем формулу двойного угла: \(cos(2A) = 2cos^2 A - 1\)

Тогда: \[cos C = -(2cos^2 A - 1) = 1 - 2cos^2 A = 1 - 2 \cdot \left(\frac{9}{13}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{81}{169} = 1 - \frac{162}{169} = \frac{7}{169}\]

4. Подставим \(cos C\) в теорему косинусов:

\[AB^2 = 2AC^2 - 2AC^2 \cdot \frac{7}{169}\]

\[18^2 = 2AC^2 \left(1 - \frac{7}{169}\right)\]

\[324 = 2AC^2 \cdot \frac{162}{169}\]

\[AC^2 = \frac{324 \cdot 169}{2 \cdot 162} = \frac{162 \cdot 169}{162} = 169\]

5. Найдем AC:

\[AC = \sqrt{169} = 13\]