1 В треугольнике АВС известно, что АС = BC = 9, tg A = \frac{\sqrt{5}}{2}. Найдите АВ.

В треугольнике ABC, где AC = BC = 9, треугольник равнобедренный. tg A =$$\frac{\sqrt{5}}{2}$$. Необходимо найти AB.

1) Рассмотрим высоту CH, проведенную к стороне AB. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, то есть AH = HB.

2) Тангенс угла A равен отношению противолежащего катета (CH) к прилежащему катету (AH):

$$tg A = \frac{CH}{AH} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$

3) Рассмотрим треугольник AHC, он прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$AC^2 = AH^2 + CH^2$$

Подставим известные значения:

$$9^2 = AH^2 + CH^2$$

$$81 = AH^2 + CH^2$$

4) Выразим CH через AH, используя тангенс угла A:

$$CH = AH \cdot tg A = AH \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}$$

5) Подставим это выражение в уравнение из теоремы Пифагора:

$$81 = AH^2 + (AH \cdot \frac{\sqrt{5}}{2})^2$$

$$81 = AH^2 + AH^2 \cdot \frac{5}{4}$$

$$81 = AH^2 (1 + \frac{5}{4})$$

$$81 = AH^2 \cdot \frac{9}{4}$$

$$AH^2 = 81 \cdot \frac{4}{9}$$

$$AH^2 = 9 \cdot 4 = 36$$

$$AH = \sqrt{36} = 6$$

6) Так как H - середина AB, то AB = 2 * AH:

$$AB = 2 \cdot 6 = 12$$

Ответ: 12