40. В треугольнике АВС известно, что AB=BC=34, AC=32. Найдите площадь треугольника АВС.

В треугольнике ABC известно, что AB = BC = 34, AC = 32. Необходимо найти площадь треугольника ABC.

Треугольник ABC - равнобедренный, AB = BC.

Проведем высоту BH на основание AC.

Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является медианой.

Тогда AH = HC = AC/2 = 32/2 = 16.

В прямоугольном треугольнике ABH: AB - гипотенуза, AH и BH - катеты.

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

$$34^2 = 16^2 + BH^2$$

$$1156 = 256 + BH^2$$

$$BH^2 = 1156 - 256$$

$$BH^2 = 900$$

$$BH = \sqrt{900} = 30$$

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. $$S = \frac{1}{2} * AC * BH = \frac{1}{2} * 32 * 30 = 16 * 30 = 480$$

Ответ: 480