662. В треугольнике АВС из вершины прямого угла С провели высоту СН и биссектрису СМ. Длина отрезка НМ в 2 раза меньше длины отрезка СМ. Найдите острые углы треугольника АВС.

Ответ: ∠A = 30°, ∠B = 60°

Решение:

1. Пусть HM = x, тогда CM = 2x.

2. Так как CM - биссектриса, то ∠ACM = ∠MCB = 45°.

3. Рассмотрим треугольник CHM. В нем ∠CHM = 90°.

4. Тогда в треугольнике CHM: tg(∠CMH) = CH / HM.

5. Рассмотрим треугольник ABC. ∠ACB = 90°.

6. Биссектриса CM делит угол C пополам, поэтому ∠ACM = ∠MCB = 45°.

7. В треугольнике CHM: tg(∠CMH) = CH / HM = CH / x.

8. В треугольнике CHM: sin(∠HCM) = HM / CM = x / 2x = 1/2.

9. Следовательно, ∠HCM = 30°.

10. Тогда ∠ACH = 30°.

11. ∠A = 90° - ∠ACH = 90° - 30° = 60°.

12. ∠B = 90° - ∠A = 90° - 60° = 30°.

Ответ: ∠A = 60°, ∠B = 30°