В треугольнике АВС биссектриса CN и высота BH пересекаются под углом 55°. Найдите угол ВАС, если \( \angle ABH : \angle CBH = 3:1 \). Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть \( \angle CBH = x \). Тогда \( \angle ABH = 3x \).

В прямоугольном треугольнике BHC: \( \angle BCH = 90° - \angle CBH = 90° - x \).

Угол C в треугольнике ABC равен \( \angle ACB = \angle BCH \) (так как BH — высота, а CN — биссектриса, они пересекаются в точке, лежащей внутри треугольника, и \( \angle BCH \) также является частью \( \angle ACB \)).

В треугольнике BNC: \( \angle BNC = 180° - \angle NBC - \angle BCN = 180° - x - (90° - x) = 90° \). Это противоречит условию, что BH и CN пересекаются под углом 55°. Значит, BH и CN пересекаются вне треугольника, или \( \angle BCH \) не равно \( \angle ACB \).

Переформулируем: BH — высота, значит \( \angle BHC = 90° \). CN — биссектриса, значит \( \angle ACN = \angle BCN \).

Пусть \( \angle CBH = x \). Тогда \( \angle ABH = 3x \). \( \angle ABC = \angle ABH + \angle CBH = 3x + x = 4x \).

В прямоугольном \( \triangle BHC \): \( \angle C = 90° - \angle CBH = 90° - x \).

В \( \triangle ABC \): \( \angle A = 180° - \angle ABC - \angle C = 180° - 4x - (90° - x) = 90° - 3x \).

\( \angle ACN = \angle BCN = \frac{\angle C}{2} = \frac{90° - x}{2} = 45° - \frac{x}{2} \).

Рассмотрим \( \triangle BNC \). Внешний угол при вершине N равен \( \angle BNC = 180° - \angle DNK = 180° - 55° = 125° \) (если КЕ — линия, содержащая BH и CN, а DNK — другая линия).

В условии сказано, что биссектриса CN и высота BH пересекаются под углом 55°. Пусть точка их пересечения — O. Тогда \( \angle BOC = 55° \) или \( \angle BON = 55° \).

Рассмотрим \( \triangle BOC \). \( \angle OBC = x \), \( \angle OCB = \frac{90° - x}{2} \).

\( \angle BOC = 180° - (x + \frac{90° - x}{2}) = 180° - \frac{2x + 90° - x}{2} = 180° - \frac{x + 90°}{2} = \frac{360° - x - 90°}{2} = \frac{270° - x}{2} \).

Это не дает 55°.

Используем формулу угла между биссектрисой и высотой, проведенными из одной вершины: \( \alpha = | \angle A - \angle C | / 2 \), где \( \alpha \) — угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины B. Это не та ситуация.

Угол между биссектрисой CN и высотой BH равен \( 55° \). Пусть \( \angle ABH = 3x \), \( \angle CBH = x \). Тогда \( \angle ABC = 4x \). \( \angle BHC = 90° \).

В \( \triangle BHC \): \( \angle C = 90° - x \).

В \( \triangle ABC \): \( \angle A = 180° - 4x - (90° - x) = 90° - 3x \).

\( \angle ACN = \angle BCN = \frac{90° - x}{2} \).

В \( \triangle BHC \), \( \angle CBH = x \), \( \angle BCH = 90° - x \).

Рассмотрим \( \triangle BOC \) (где O - точка пересечения BH и CN). \( \angle OBC = x \), \( \angle OCB = \frac{90° - x}{2} \). Угол \( \angle BOC = 180° - (x + \frac{90° - x}{2}) = 180° - \frac{3x+90°}{2} \).

Если \( \angle BOC = 55° \), то \( 55° = 180° - \frac{3x+90°}{2} \) => \( \frac{3x+90°}{2} = 125° \) => \( 3x+90° = 250° \) => \( 3x = 160° \) => \( x = 160°/3 \).

\( \angle A = 90° - 3x = 90° - 3 \times \frac{160°}{3} = 90° - 160° = -70° \). Это невозможно.

Рассмотрим \( \triangle BOH \), где O - точка пересечения. \( \angle OBH = x \), \( \angle BHO = 90° \). \( \angle BOH = 180° - 90° - x = 90° - x \).

\( \angle AOC \) (или \( \angle CNB \)) = 180° - \( \angle BOC \) = 180° - 55° = 125°.

Или \( \angle COB = 55° \).

Формула угла между биссектрисой и высотой, проведенными из разных вершин (для угла \( \angle A \)): \( \alpha = | \angle B - \angle C | / 2 \) (не подходит).

Формула угла между биссектрисой и высотой, проведенными из одной вершины (для угла \( \angle B \)): \( \alpha = | \angle A - \angle C | / 2 \).

В \( \triangle ABC \): \( \angle A + \angle B + \angle C = 180° \). \( \angle A + 4x + (90° - x) = 180° \) => \( \angle A + 3x + 90° = 180° \) => \( \angle A = 90° - 3x \).

Угол между биссектрисой CN и высотой BH равен \( 55° \).

\( \angle NBH = x \), \( \angle BCN = \frac{90° - x}{2} \).

В \( \triangle BOC \): \( \angle BOC = 180° - \angle OBC - \angle OCB = 180° - x - \frac{90° - x}{2} \).

В \( \triangle BNH \), \( \angle HBN = x \), \( \angle BNH \) = ? \( \angle NHB = 90° \). \( \angle BNH = 90° - x \).

Пусть \( \angle O = 55° \).

В \( \triangle BOC \): \( \angle BOC = 180 - (x + \frac{90-x}{2}) = 180 - \frac{2x+90-x}{2} = 180 - \frac{90+x}{2} = \frac{360-90-x}{2} = \frac{270-x}{2} \).

В \( \triangle BHC \): \( \angle C = 90 - x \).

\( \angle BAC = 90 - 3x \).

Угол между биссектрисой CN и высотой BH = \( | \angle A - \angle C | / 2 \) (если они из одной вершины).

Другая формула: угол между биссектрисой и высотой, проведенными из разных вершин. Это не тот случай.

Угол между биссектрисой \( CN \) и высотой \( BH \) равен \( 55° \).

Пусть \( \angle A = \alpha \), \( \angle B = \beta \), \( \angle C = \gamma \).

\( \alpha + \beta + \gamma = 180° \).

\( \angle ABC = \beta = 4x \), \( \angle CBH = x \) => \( \angle ABH = 3x \).

\( \angle BHC = 90° \) => \( \gamma = 90° - x \).

\( \alpha = 180° - (4x) - (90° - x) = 90° - 3x \).

\( \angle BCN = \gamma / 2 = (90° - x) / 2 = 45° - x/2 \).

В \( \triangle BOC \): \( \angle OBC = x \), \( \angle OCB = 45° - x/2 \).

\( \angle BOC = 180° - (x + 45° - x/2) = 180° - (45° + x/2) = 135° - x/2 \).

Этот угол \( \boldsymbol{135° - x/2} \) или его смежный \( 180° - (135° - x/2) = 45° + x/2 \) равен 55°.

Случай 1: \( 135° - x/2 = 55° \) => \( x/2 = 80° \) => \( x = 160° \). Невозможно, так как \( \angle ABC = 4x \).

Случай 2: \( 45° + x/2 = 55° \) => \( x/2 = 10° \) => \( x = 20° \).

Тогда \( \angle ABC = 4x = 4 \times 20° = 80° \).

\( \angle C = 90° - x = 90° - 20° = 70° \).

\( \angle A = 90° - 3x = 90° - 3 \times 20° = 90° - 60° = 30° \).

Проверка: \( \angle A + \angle B + \angle C = 30° + 80° + 70° = 180° \).

Биссектриса CN делит \( \angle C = 70° \) на \( 35° \). \( \angle BCN = 35° \).

Высота BH. \( \angle CBH = x = 20° \), \( \angle ABH = 3x = 60° \).

В \( \triangle BHC \): \( \angle CBH = 20° \), \( \angle BCH = 70° \), \( \angle BHC = 90° \).

В \( \triangle ABH \): \( \angle ABH = 60° \), \( \angle BAH = 30° \), \( \angle AHB = 90° \).

Точка пересечения O. \( \triangle BOC \): \( \angle OBC = 20° \), \( \angle OCB = 35° \). \( \angle BOC = 180° - (20° + 35°) = 180° - 55° = 125° \).

\( \angle BOH \) — смежный с \( \angle BOC \), поэтому \( \angle BOH = 180° - 125° = 55° \).

Это соответствует условию. Угол между биссектрисой CN и высотой BH равен 55°.

Нам нужно найти \( \angle BAC \).

\( \angle BAC = \angle A = 30° \).

Ответ: 30