3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол А равен 30°, AB = $$90\sqrt{3}$$. Найдите высоту CH.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C = 90°, угол A = 30°, следовательно, угол B = 90° - 30° = 60°.

Катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы. Тогда BC = $$ \frac{1}{2} AB = \frac{90\sqrt{3}}{2} = 45\sqrt{3}$$.

Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:

1. $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$$
2. $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$$

Приравняем эти два выражения:

$$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$$

Сократим на $$\frac{1}{2}$$ и выразим CH:

$$CH = \frac{AC \cdot BC}{AB}$$

Найдем AC по теореме Пифагора:

$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(90\sqrt{3})^2 - (45\sqrt{3})^2} = \sqrt{90^2 \cdot 3 - 45^2 \cdot 3} = \sqrt{24300 - 6075} = \sqrt{18225} = 135$$

Подставим значения в формулу для CH:

$$CH = \frac{135 \cdot 45\sqrt{3}}{90\sqrt{3}} = \frac{135 \cdot 45}{90} = \frac{135}{2} = 67.5$$

Ответ: 67.5