В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 90, sin A = \( \frac{2}{3} \). Найдите длину отрезка BH.

Пошаговое решение:

1. Найдем BC: \( sin A = \frac{BC}{AB} \), значит, \( BC = AB \cdot sin A = 90 \cdot \frac{2}{3} = 60 \).
2. Найдем AC, используя теорему Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \), \( AC^2 = AB^2 - BC^2 = 90^2 - 60^2 = 8100 - 3600 = 4500 \), \( AC = \sqrt{4500} = 30\sqrt{5} \).
3. Треугольники ABC и CBH подобны (оба прямоугольные и \( \angle B \) общий). Тогда \( \angle A = \angle BCH \).
4. Теперь найдем BH: \( cos B = \frac{BH}{BC} \). \( cos B = \sqrt{1 - sin^2 B} = \sqrt{1 - (\frac{AC}{AB})^2} = \sqrt{1 - (\frac{30\sqrt{5}}{90})^2} = \sqrt{1 - \frac{4500}{8100}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \).
5. \( BH = BC \cdot cos B = 60 \cdot \frac{2}{3} = 40 \).

Ответ: 40