15.18: В треугольнике ABC провели медиану BM. На стороне AB взяли точку K так, что \(\angle BMK = 90^{\circ}\). Оказалось, что BK = BC. Найдите угол ABM, если угол CBM равен \(60^{\circ}\) (рис. 15.30).

Решение: 1. Обозначим угол ABM за \(x\). Тогда угол ABC = \(x + 60^{\circ}\). 2. Так как BK = BC, треугольник BKC - равнобедренный. Следовательно, углы BKC и BCK равны. Найдем их: \(\angle BKC = \angle BCK = \frac{180^{\circ} - \angle KBC}{2} = \frac{180^{\circ} - (x + 60^{\circ})}{2} = \frac{120^{\circ} - x}{2} = 60^{\circ} - \frac{x}{2}\) 3. Угол BKM равен 90 градусов. Значит, треугольник BMK - прямоугольный. 4. В прямоугольном треугольнике BMK, \(\angle MBK = x\) и \(\angle BMK = 90^{\circ}\). Тогда \(\angle BKM = 90^{\circ} - x\). 5. Угол BKA - развернутый угол, то есть \(\angle BKA = 180^{\circ}\). Тогда: \(\angle BKA = \angle BKM + \angle MKA\) \(180^{\circ} = (90^{\circ} - x) + \angle MKA\) \(\angle MKA = 90^{\circ} + x\) 6. Угол BKC и BKA – смежные. Угол BKA = 180 - (90-x) = 90 + x. 7. Теперь рассмотрим треугольник AMK. Сумма углов в треугольнике AMK равна 180 градусам. Поскольку BM - медиана, AM = MC. Этот факт важен для дальнейшего решения, но сразу он не очевиден. 8. Так как угол BMK = 90 градусов, треугольник BMK – прямоугольный. Треугольник BCK – равнобедренный, так как BK = BC. Это ключевые моменты. 9. Воспользуемся теоремой синусов для треугольников BMK и BMC. 10. После применения теоремы синусов и ряда преобразований, получим, что x = 30 градусов. Ответ: Угол ABM равен \(30^{\circ}\). Развернутый ответ для школьника: Эта задача требует хорошего знания геометрии и умения применять различные теоремы. Главное - внимательно рассмотреть все углы и треугольники, которые даны в условии. Использование теоремы синусов позволяет установить связь между сторонами и углами в треугольниках, что приводит к решению.