15.17: У двух треугольников соответственно равны две стороны и медианы, проведённые к их третьим сторонам. Докажите, что такие треугольники равны (рис. 15.29).

Доказательство: Пусть даны треугольники ABC и A1B1C1, в которых AB = A1B1, AC = A1C1, и медианы AM = A1M1. Нужно доказать, что треугольники ABC и A1B1C1 равны. Доказательство можно провести, используя дополнительное построение и свойства параллелограмма. Отложим на продолжении медианы AM отрезок MD = AM, а на продолжении медианы A1M1 отрезок M1D1 = A1M1. Тогда получим параллелограммы ABDC и A1B1D1C1, так как диагонали точкой пересечения делятся пополам. В параллелограмме ABDC: BD = AC и CD = AB. В параллелограмме A1B1D1C1: B1D1 = A1C1 и C1D1 = A1B1. По условию, AB = A1B1 и AC = A1C1. Следовательно, BD = B1D1 и CD = C1D1. Рассмотрим треугольники ADM и A1D1M1. AD = 2AM и A1D1 = 2A1M1. AM = A1M1 (по условию), значит AD = A1D1. Таким образом, треугольники ABDC и A1B1D1C1 равны по трем сторонам (AB = A1B1, AC = A1C1, AD = A1D1). Следовательно, углы BAC и B1A1C1 равны. Теперь рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1. У них AB = A1B1, AC = A1C1, и угол BAC = углу B1A1C1. Значит, треугольники ABC и A1B1C1 равны по двум сторонам и углу между ними. Что и требовалось доказать.