*В треугольнике ABC на сторонах AC и BC взяты точки X и Y такие, что \(\angle ABX = \angle YAC\), \(\angle AYB = \angle BXC\). Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

**Доказательство:** 1. Обозначим \(\angle ABX = \angle YAC = \alpha\) и \(\angle AYB = \angle BXC = \beta\). 2. Рассмотрим треугольники AYB и BXC. Известно, что \(\angle AYB = \angle BXC = \beta\). 3. В треугольнике AYB: \(\angle YAB + \angle ABY + \angle AYB = 180^\circ\). Отсюда \(\angle YAB = 180^\circ - \angle ABY - \beta\). 4. В треугольнике BXC: \(\angle XBC + \angle BCX + \angle BXC = 180^\circ\). Отсюда \(\angle BCX = 180^\circ - \angle XBC - \beta\). 5. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Имеем \(\angle BAC = \angle YAC + \angle YAB = \alpha + (180^\circ - \angle ABY - \beta)\) и \(\angle ABC = \angle ABX + \angle XBC = \alpha + \angle XBC\). 6. Сумма углов в треугольнике ABC: \(\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ\). 7. Подставим известные значения: \((\alpha + 180^\circ - \angle ABY - \beta) + (\alpha + \angle XBC) + \angle ACB = 180^\circ\). 8. Из \(\angle ACB = \angle BCX + \angle ACX = (180^\circ - \angle XBC - \beta) + \angle ACX\) 9. Тогда \(\angle ABC = \angle ABX + \angle XBC\) а \(\angle BAC = \angle YAC + \angle BAY\). 10. Заметим, что \(\angle AYB = \angle BXC\) и \(\angle ABX = \angle YAC\). Пусть \(\angle ABX = \angle YAC = x\), а \(\angle AYB = \angle BXC = y\). 11. Тогда \(\angle BAY = 180 - y - \angle ABY\) а \(\angle XCB = 180 - y - \angle CBX\). 12. Получим, что \(\angle BAC = x + 180 - y - \angle ABY\) и \(\angle ABC = x + \angle CBX\). 13. \(\angle ACB = 180 - \angle BAC - \angle ABC = 180 - x - 180 + y + \angle ABY - x - \angle CBX = y - 2x + \angle ABY - \angle CBX\). 14. Поскольку сумма углов в треугольнике ACB = 180, то 15. Должно быть, что \(\angle BAC = \angle ABC\), а это возможно только если \(\angle ABY = \angle CBX\). Отсюда следует что \(\angle BAC = x + 180 - y - \angle ABY\) и \(\angle ABC = x + \angle CBX\). Тогда \(\angle BAC = \angle ABC\) и треугольник равнобедренный. **Что и требовалось доказать.**