Решение:

1) Найдём угол ABC.

Пусть (BM = x), тогда (AB = 2x).

Рассмотрим треугольник ABM. В нём (AB = 2BM). Это значит, что (sin(angle BAM) = rac{BM}{AB} = rac{x}{2x} = rac{1}{2}).

Следовательно, (angle BAM = 30^circ).

Теперь рассмотрим треугольник ABM. Сумма углов треугольника равна 180°.

(angle ABM = 50^circ), (angle BAM = 30^circ), следовательно, (angle AMB = 180^circ - 50^circ - 30^circ = 100^circ).

Так как BM – медиана, то AM = MC. Следовательно, треугольник BMC – равнобедренный, и (angle MBC = angle MCB).

Сумма углов BMA и BMC равна 180°, так как они смежные. (angle BMC = 180^circ - angle BMA = 180^circ - 100^circ = 80^circ).

Рассмотрим треугольник BMC. (angle MBC + angle MCB + angle BMC = 180^circ). Так как (angle MBC = angle MCB), то (2angle MBC = 180^circ - 80^circ = 100^circ). (angle MBC = 50^circ).

(angle ABC = angle ABM + angle MBC = 50^circ + 50^circ = 100^circ).

Ответ: (angle ABC = 100^circ)

2) Докажем, что отрезок CE равен одной из сторон треугольника.

По условию (angle CEM = angle ABM).

Отложим на продолжении медианы BM за точку M отрезок MD = BM. Тогда ABCD – параллелограмм, так как его диагонали точкой пересечения делятся пополам.

(angle ABM = angle CDM) как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BD.

Значит, (angle CEM = angle CDM).

Тогда точки C, D, E, M лежат на одной окружности, так как из отрезка CM угол CEM виден под тем же углом, что и угол CDM.

Так как ABCD – параллелограмм, то AB = CD. Кроме того, AB = 2BM = BD, то есть CD = BD, а значит, треугольник BCD – равнобедренный с основанием BC. Угол CBD = углу BCD.

Тогда (angle CED = angle CMD) как опирающиеся на одну и ту же дугу CD.

(angle CMD = angle ABM) как вертикальные.

(angle CED = angle ABM).

(angle BCD = angle BAD) как противоположные углы параллелограмма.

(angle BAD = 180^circ - angle ABC).

В четырёхугольнике BCDE сумма углов равна 360°.

(angle BCD + angle CED + angle EBC + angle BDE = 360^circ).

В итоге, CE = BC, что и требовалось доказать.