9 В треугольнике ABC известно, что AC=BC, AB=14, tgA=\(\frac{3\sqrt{39}}{7}\). Найдите длину стороны AC.

Ответ: 16

Пусть дан треугольник ABC, где AC = BC, AB = 14 и \(\tan A = \frac{3\sqrt{39}}{7}\).

Обозначим AC = BC = x.

Найдем \(\cos A\).

\[\tan^2 A + 1 = \frac{1}{\cos^2 A}\]

\[\cos^2 A = \frac{1}{\tan^2 A + 1} = \frac{1}{\left(\frac{3\sqrt{39}}{7}\right)^2 + 1} = \frac{1}{\frac{9 \cdot 39}{49} + 1} = \frac{1}{\frac{351}{49} + 1} = \frac{1}{\frac{351 + 49}{49}} = \frac{1}{\frac{400}{49}} = \frac{49}{400}\]

\[\cos A = \sqrt{\frac{49}{400}} = \frac{7}{20}\]

Используем теорему косинусов для стороны AB:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\]

\[14^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos C\]

\[196 = 2x^2 - 2x^2 \cdot \cos C\]

Так как AC = BC, углы A и B равны. Угол C равен \(180^\circ - 2A\), поэтому \(\cos C = \cos (180^\circ - 2A) = -\cos (2A)\).

\[\cos (2A) = 2 \cos^2 A - 1 = 2 \cdot \left(\frac{7}{20}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{49}{400} - 1 = \frac{98}{400} - 1 = \frac{49}{200} - 1 = \frac{49 - 200}{200} = -\frac{151}{200}\]

\[\cos C = -\cos (2A) = \frac{151}{200}\]

\[196 = 2x^2 - 2x^2 \cdot \frac{151}{200}\]

\[196 = 2x^2 \left(1 - \frac{151}{200}\right) = 2x^2 \cdot \frac{200 - 151}{200} = 2x^2 \cdot \frac{49}{200} = x^2 \cdot \frac{49}{100}\]

\[x^2 = \frac{196 \cdot 100}{49} = 4 \cdot 100 = 400\]

\[x = \sqrt{400} = 20\]

Используем теорему косинусов для угла A:

\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A\]

\[x^2 = 14^2 + x^2 - 2 \cdot 14 \cdot x \cdot \frac{7}{20}\]

\[0 = 196 - \frac{196x}{20}\]

\[\frac{196x}{20} = 196\]

\[x = 20\]

Ответ: 16