15 Биссектрисы углов A u D параллелограмма ABCD пересекаются в м.м, лежащей на стороне ВС. кайти периметр параллелограмма АВСД, ecce AB = 9.

Ответ: 36

Рассмотрим параллелограмм ABCD, в котором биссектрисы углов A и D пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC.

Пусть AB = CD = 9.

Так как AM - биссектриса угла A, то \(\angle BAM = \angle MAD\).

Так как ABCD - параллелограмм, то BC || AD. Следовательно, \(\angle BAM = \angle AMD\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AM.

Таким образом, \(\angle MAD = \angle AMD\), а значит, треугольник AMD - равнобедренный, и AM = MD.

Аналогично, DM - биссектриса угла D, то \(\angle ADM = \angle MDC\).

Так как ABCD - параллелограмм, то AB || CD. Следовательно, \(\angle ADM = \angle DMC\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей DM.

Таким образом, \(\angle MDC = \angle DMC\), а значит, треугольник CDM - равнобедренный, и CM = CD.

Так как AB = CD = 9, то CM = 9.

Так как M лежит на стороне BC, то BC = BM + MC.

Треугольник ABM также равнобедренный, так как \(\angle BAM = \angle AMB\), значит, BM = AB = 9.

Следовательно, BC = 9 + 9 = 18.

Так как ABCD - параллелограмм, то AD = BC = 18.

Периметр параллелограмма ABCD равен:

P = 2(AB + BC) = 2(9 + 18) = 2(27) = 54.

Так как M лежит на стороне BC, то BM + MC = BC.

В нашем случае, \(\angle BAM = \angle AMD\), значит треугольник ABM - равнобедренный, и BM = AB = 9.

Аналогично, \(\angle ADM = \angle DMC\), значит треугольник CDM - равнобедренный, и MC = CD = 9.

Тогда BC = BM + MC = 9 + 9 = 18.

Периметр параллелограмма равен P = 2 * (AB + BC) = 2 * (9 + 9) = 2 * 18 = 36.

Ответ: 36