В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB=20, tgA=\frac{\sqrt{5}}{2}. Найдите длину стороны АС.

В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB=20, $$tgA=\frac{\sqrt{5}}{2}$$. Найдем длину стороны AC.

Треугольник ABC - равнобедренный, следовательно, углы при основании равны, т.е. угол A равен углу B.

Проведем высоту CH к основанию AB. Так как треугольник ABC - равнобедренный, то высота CH является и медианой, то есть AH = HB = 10.

В прямоугольном треугольнике ACH: $$tgA = \frac{CH}{AH} = \frac{CH}{10}$$.

Из условия $$tgA = \frac{\sqrt{5}}{2}$$, значит, $$\frac{CH}{10} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$. Отсюда $$CH = 10 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = 5\sqrt{5}$$.

По теореме Пифагора в треугольнике ACH: $$AC^2 = AH^2 + CH^2 = 10^2 + (5\sqrt{5})^2 = 100 + 25 \cdot 5 = 100 + 125 = 225$$.

Тогда $$AC = \sqrt{225} = 15$$.

Ответ: 15