В трапеции АВСD с основаниями AD = 13 и ВС = 7 точка К середина BD, а луч АК - биссектриса угла САД. Найдите длину диагонали АС.

Ответ: 13

1. Продлим AK до пересечения с прямой BC в точке E. Рассмотрим треугольники \(\triangle AKD\) и \(\triangle EKB\). У них \(BK = KD\) по условию, углы \(\angle AKD\) и \(\angle EKB\) равны как вертикальные, и углы \(\angle EBK\) и \(\angle KDA\) равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BD. Следовательно, \(\triangle AKD = \triangle EKB\) по стороне и двум прилежащим углам.
2. Из равенства треугольников следует, что \(AD = BE = 13\) и \(AK = KE\). Значит, K - середина AE. Так как AK - биссектриса угла CAD, то \(\angle CAK = \angle KAD\). Поскольку \(\angle KAD = \angle KEC\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AE, то \(\angle CAK = \angle KEC\). Следовательно, треугольник ACE - равнобедренный с основанием AE, и \(AC = CE\).
3. Поскольку \(BE = 13\) и \(BC = 7\), то \(CE = BE - BC = 13 - 7 = 6\). Следовательно, \(AC = CE = 13\).

Ответ: 13