25.32. В трапеции АBCD на боковой стороне АВ отметили точку М так, что АM : MB = 3 : 1. Найдите отношение площадей треугольников BCD и MBD, если BC : AD = 1 : 2.

Решение:

• Пусть \(BC = x\), тогда \(AD = 2x\).
• Площадь треугольника \(BCD\) равна \(S_{BCD} = \frac{1}{2} h_1 \cdot BC = \frac{1}{2} h_1 x\), где \(h_1\) - высота треугольника \(BCD\).
• Т.к. треугольники \(BCD\) и \(ABD\) имеют общую высоту из вершины \(B\), то их площади относятся как основания: \(\frac{S_{BCD}}{S_{ABD}} = \frac{BC}{AD} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\). Тогда \(S_{ABD} = 2S_{BCD}\).
• Т.к. \(AM : MB = 3 : 1\), то \(MB = \frac{1}{4} AB\).
• Проведем высоту \(h_2\) к стороне \(AB\). Тогда площадь \(MBD = \frac{1}{2} MB \cdot h_2\), а площадь \(ABD = \frac{1}{2} AB \cdot h_2\).
• Тогда отношение площадей \(\frac{S_{MBD}}{S_{ABD}} = \frac{MB}{AB} = \frac{1}{4}\). Следовательно, \(S_{MBD} = \frac{1}{4} S_{ABD}\).
• Подставим \(S_{ABD} = 2S_{BCD}\): \(S_{MBD} = \frac{1}{4} \cdot 2S_{BCD} = \frac{1}{2} S_{BCD}\).
• Тогда отношение площадей \(\frac{S_{BCD}}{S_{MBD}} = \frac{S_{BCD}}{\frac{1}{2} S_{BCD}} = 2\).

Ответ: 2