25.33. Докажите, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков, на которые точка касания вписанной окружности делит гипотенузу.

Доказательство:

• Пусть дан прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\). Вписанная окружность касается сторон \(AC\), \(BC\) и гипотенузы \(AB\) в точках \(K\), \(L\) и \(M\) соответственно.
• Пусть \(AM = x\) и \(MB = y\). Требуется доказать, что \(S_{ABC} = xy\).
• По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, имеем \(AK = AM = x\) и \(BL = BM = y\).
• Пусть \(CK = CL = r\), где \(r\) - радиус вписанной окружности. Тогда \(AC = AK + KC = x + r\) и \(BC = BL + LC = y + r\).
• Площадь прямоугольного треугольника можно найти как \(S_{ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}(x+r)(y+r)\).
• Также площадь треугольника можно выразить через полупериметр и радиус вписанной окружности: \(S = pr\), где \(p = \frac{AC + BC + AB}{2}\).
• Имеем \(AB = AM + MB = x + y\). Полупериметр равен \(p = \frac{(x+r) + (y+r) + (x+y)}{2} = \frac{2x + 2y + 2r}{2} = x + y + r\).
• Тогда \(S_{ABC} = (x+y+r)r = xr + yr + r^2\).
• Приравняем два выражения для площади: \(\frac{1}{2}(x+r)(y+r) = xr + yr + r^2\), \(\frac{1}{2}(xy + xr + yr + r^2) = xr + yr + r^2\), \(xy + xr + yr + r^2 = 2xr + 2yr + 2r^2\), \(xy = xr + yr + r^2\).
• Рассмотрим четырехугольник \(CKML\). Так как угол \(C\) прямой и углы \(CKM\) и \(CLM\) прямые (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной), то \(CKML\) - квадрат со стороной \(r\).
• По теореме Пифагора для треугольника \(ABC\): \(AC^2 + BC^2 = AB^2\), \((x+r)^2 + (y+r)^2 = (x+y)^2\), \(x^2 + 2xr + r^2 + y^2 + 2yr + r^2 = x^2 + 2xy + y^2\), \(2xr + 2yr + 2r^2 = 2xy\), \(xr + yr + r^2 = xy\).
• Получили \(S_{ABC} = xy\), что и требовалось доказать.