14. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 15 выстрелов стрелок получает штрафные очки: за первый промах – два штрафных очка, за каждый последующий промах – на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7.5 штрафных очка?

Пусть x - количество промахов.

Штрафные очки за промахи образуют арифметическую прогрессию: 2, 2.5, 3, ...

Сумма штрафных очков за x промахов: $$S_x = \frac{2 + (2 + 0.5(x-1))}{2} \cdot x = 7.5$$

$$S_x = \frac{4 + 0.5x - 0.5}{2} \cdot x = 7.5$$

$$S_x = \frac{3.5 + 0.5x}{2} \cdot x = 7.5$$

$$(3.5 + 0.5x) \cdot x = 15$$

$$3.5x + 0.5x^2 = 15$$

$$0.5x^2 + 3.5x - 15 = 0$$

$$x^2 + 7x - 30 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$$

$$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-7 + 13}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-7 - 13}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$

Отрицательное число промахов не имеет смысла, поэтому x = 3.

Количество попаданий: 15 - 3 = 12.

Ответ: 12