252. В сообщающиеся сосуды, площади поперечного сечения которых относятся как 1:2, налита вода. В уз- кий сосуд поверх воды долили столб керосина высотой 30 см. На сколько сантиметров повысится уровень воды в широком сосуде?

Пусть $$S_1$$ — площадь сечения узкого сосуда, $$S_2$$ — площадь сечения широкого сосуда, тогда $$S_2 = 2S_1$$. Высота столба керосина $$h_\text{к} = 30 \text{ см}$$. Необходимо найти, на сколько поднимется уровень воды в широком сосуде, обозначим это $$y$$.

Когда керосин наливают в узкий сосуд, уровень воды в нем опускается на $$x$$, а уровень воды в широком сосуде поднимается на $$y$$. Объем воды, вытесненной из узкого сосуда, равен объему воды, поднявшейся в широком сосуде:

$$S_1 x = S_2 y$$ $$S_1 x = 2S_1 y$$ $$x = 2y$$

Давление столба керосина в узком сосуде равно давлению, создаваемому разницей высот воды в обоих сосудах:

$$\rho_\text{к} g h_\text{к} = \rho_\text{в} g (x + y)$$

Подставим $$x = 2y$$ в уравнение:

$$\rho_\text{к} g h_\text{к} = \rho_\text{в} g (2y + y)$$ $$\rho_\text{к} g h_\text{к} = \rho_\text{в} g (3y)$$

Разделим обе части уравнения на $$g$$:

$$\rho_\text{к} h_\text{к} = \rho_\text{в} (3y)$$

Выразим $$y$$:

$$y = \frac{\rho_\text{к} h_\text{к}}{3 \rho_\text{в}}$$

Плотность воды $$ \rho_\text{в} = 1000 \text{ кг/м}^3 $$, плотность керосина $$ \rho_\text{к} = 800 \text{ кг/м}^3 $$. Подставим значения:

$$y = \frac{800 \cdot 0.3}{3 \cdot 1000} = \frac{240}{3000} = 0.08 \text{ м}$$ $$y = 8 \text{ см}$$

Ответ: 8 см