7. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей $$5(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$, а угол, из которого выходит эта диагональ, равен 150°. Найдите площадь ромба.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания свойств ромба и тригонометрии. 1. Найдем второй угол ромба: Так как сумма углов прилежащих к одной стороне ромба равна 180 градусам, второй угол ромба равен: $$180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$$ 2. Площадь ромба через сторону и угол: Площадь ромба можно найти по формуле: $$S = a^2 \cdot sin(\alpha)$$, где $$a$$ - сторона ромба, $$\alpha$$ - один из углов ромба. В нашем случае, $$a = 10$$ и $$\alpha = 30^{\circ}$$. $$S = 10^2 \cdot sin(30^{\circ}) = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50$$ 3. Проверка через диагонали: Пусть $$d_1 = 5(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$. Угол между стороной и данной диагональю равен $$\frac{150}{2} = 75^{\circ}$$. По теореме косинусов для половины диагонали: $$(\frac{d_1}{2})^2 = a^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2a(\frac{d_2}{2})cos(30^{\circ})$$ $$(\frac{5(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2})^2 = 100 + (\frac{d_2}{2})^2 - 20(\frac{d_2}{2})cos(30^{\circ})$$ Но проще найти через площадь, используя известные значения: $$S = \frac{1}{2}d_1d_2$$ $$50 = \frac{1}{2} \cdot 5(\sqrt{6} - \sqrt{2})d_2$$ $$d_2 = \frac{2 \cdot 50}{5(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{20}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{20(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = 5(\sqrt{6} + \sqrt{2})$$ Ответ: Площадь ромба равна 50.