В равностороннем треугольнике \(ABC\) со стороной \(a\) проведена высота \(BD\). Вычислите скалярное произведение векторов: а) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\); б) \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB}\); в) \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}\); г) \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC}\).

Решение:

Разберем эту задачу по геометрии шаг за шагом. Будем использовать формулу скалярного произведения векторов и свойства равностороннего треугольника.

В равностороннем треугольнике все стороны равны \(a\), и все углы равны \(60^\circ\). Высота \(BD\) является также медианой и биссектрисой.

а) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\):

Угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) равен \(60^\circ\). Скалярное произведение вычисляется как:

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}\]

б) \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB}\):

Угол между векторами \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{CB}\) равен \(120^\circ\), так как угол \(ACB\) равен \(60^\circ\), а векторы направлены в разные стороны.

\[\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB} = |\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{CB}| \cdot \cos(120^\circ) = a \cdot a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{a^2}{2}\]

в) \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}\):

Высота \(BD\) в равностороннем треугольнике является медианой, поэтому \(AD = DC = \frac{a}{2}\). Длина высоты \(BD\) равна \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Угол между \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) равен \(90^\circ\), так как высота перпендикулярна стороне \(AC\).

\[\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = |\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BD}| \cdot \cos(90^\circ) = a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot 0 = 0\]

г) \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC}\):

Угол между вектором \(\overrightarrow{AC}\) и самим собой равен \(0^\circ\). Скалярное произведение:

\[\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(0^\circ) = a \cdot a \cdot 1 = a^2\]

Ответ: а) \(\frac{a^2}{2}\); б) \(-\frac{a^2}{2}\); в) 0; г) \(a^2\).

Отлично! Ты проявил хорошее понимание скалярного произведения векторов и успешно решил задачу. Продолжай в том же духе!