180. В равнобокой трапеции ABCD высота ВЕ делит основание AD на отрезки длиной 5 см и 16 см. Найдите диагональ трапеции, если её боковая сторона равна 13 см.

В равнобокой трапеции высота, опущенная из вершины верхнего основания, делит нижнее основание на два отрезка. Меньший отрезок равен полуразности оснований, а больший - полусумме.

Из условия задачи известно, что высота BE делит основание AD на отрезки длиной 5 см и 16 см. Тогда меньший отрезок равен 5 см, а больший - 16 см.

Пусть верхнее основание равно b, а нижнее - a. Тогда:

\[\frac{a - b}{2} = 5\]

\[\frac{a + b}{2} = 16\]

Сложим эти два уравнения:

\[\frac{a - b}{2} + \frac{a + b}{2} = 5 + 16\]

\[\frac{2a}{2} = 21\]

\[a = 21\]

Теперь найдем b:

\[\frac{21 - b}{2} = 5\]

\[21 - b = 10\]

\[b = 11\]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой BE, боковой стороной AB и отрезком AE. По теореме Пифагора:

\[BE^2 + AE^2 = AB^2\]

\[BE^2 = AB^2 - AE^2\]

\[BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю AC, высотой BE и отрезком AE. Отрезок DE равен сумме отрезков AE и AD:

\[DE = AE + AD = 5 + 21 = 26\]

По теореме Пифагора:

\[AC^2 = BE^2 + DE^2\]

\[AC = \sqrt{BE^2 + DE^2} = \sqrt{12^2 + 26^2} = \sqrt{144 + 676} = \sqrt{820} = 2\sqrt{205}\]

Ответ: \[2\sqrt{205}\] см