В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 64°. Диагональ AC образует со стороной CD угол 81°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Решение:

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Углы при большем основании AD равны, \( \angle DAB = \angle CDA = 64° \). Углы при меньшем основании BC равны, \( \angle ABC = \angle BCD \).

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. \( \angle BCD = 180° - \angle CDA = 180° - 64° = 116° \).

Диагональ AC образует со стороной CD угол 81°, то есть \( \angle ACD = 81° \).

Угол BCD состоит из двух углов: \( \angle ACB + \angle ACD = \angle BCD \).

Найдем угол ACB: \( \angle ACB = \angle BCD - \angle ACD = 116° - 81° = 35° \).

Так как трапеция равнобедренная, то \( \angle BAC = \angle ACD = 81° \) (как накрест лежащие при параллельных основаниях AD и BC и секущей AC).

В равнобедренной трапеции диагонали равны, \( AC = BD \). Углы при основании равны: \( \angle CAD = \angle BDA \) и \( \angle ACB = \angle DBC \).

Угол между диагональю AC и меньшим основанием BC — это \( \angle ACB \).

Мы уже нашли, что \( \angle ACB = 35° \).

Ответ: 35°.