3.4.59. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и а один из углов между боковой стороной и основанием рав 45°. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где BC = 3 и AD = 8 - основания, ∠BAD = 45°.

Проведем высоты BH и CK.

Тогда AH = KD = (AD - BC)/2 = (8 - 3)/2 = 2.5

Рассмотрим треугольник ABH - прямоугольный, ∠BAH = 45°.

Тогда ∠ABH = 90° - 45° = 45°, значит, треугольник равнобедренный, BH = AH = 2.5.

Площадь трапеции ABCD:

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{3 + 8}{2} \cdot 2.5 = \frac{11}{2} \cdot 2.5 = 5.5 \cdot 2.5 = 13.75$$

Ответ: 13.75