4. В равнобедренном треугольнике KLM, на основании KM указана точка P. От этой точки проведены перпендикуляры к двум боковым сторонам, соответственно PA и PB. Докажите, что LP - биссектриса треугольника KLM, если KA=MB.

Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники KAP и MBP. У них KA = MB (по условию), углы KAP и MBP равны (как углы при основании равнобедренного треугольника KLM). Углы AKN и BMN прямые (так как PA и PB - перпендикуляры). Следовательно, треугольники KAP и MBP равны по гипотенузе и острому углу. 2. Из равенства треугольников следует, что AP = BP. 3. Рассмотрим треугольники ALP и BLP. У них AP = BP (доказано выше), LP - общая сторона. Углы ALP и BLP прямые (так как PA и PB - перпендикуляры). Следовательно, треугольники ALP и BLP равны по двум катетам. 4. Из равенства треугольников следует, что углы KLP и MLP равны. Следовательно, LP - биссектриса угла KLM.