В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВМ, равная 5 см. ∠ABC = 120°. Найдите боковые стороны треугольника АВС.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Значит, BM ⊥ AC и ∠ABM = ∠CBM = 120° / 2 = 60°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. В нем ∠ABM = 60°, BM = 5 см. Надо найти AB.

Используем определение тангенса угла: \[\tan(\angle ABM) = \frac{AM}{BM}\]

Тогда \(AM = BM \cdot \tan(\angle ABM) = 5 \cdot \tan(60°) = 5\sqrt{3}\)

Так как AM = MC, то AC = 2AM = 10\sqrt{3}

Далее, используем теорему Пифагора для треугольника ABM: \(AB^2 = AM^2 + BM^2\)

Подставляем известные значения: \(AB^2 = (5\sqrt{3})^2 + 5^2 = 75 + 25 = 100\)

Тогда \(AB = \sqrt{100} = 10\) см.

Боковые стороны треугольника АВС равны 10 см.

Проверка за 10 секунд: Боковые стороны треугольника АВС равны 10 см.

Уровень Эксперт: Знание свойств медианы в равнобедренном треугольнике сильно упрощает решение геометрических задач.