3.В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС угол А равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины В, равна 13. Найдите длину стороны ВС.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC угол A равен 120°. Высота, проведённая из вершины B, равна 13. Обозначим высоту, проведённую из вершины B к стороне AC, как BH. BH = 13.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому углы B и C равны между собой. Сумма углов треугольника равна 180°, значит, углы при основании BC равны:

$$\frac{180° - 120°}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$$

Угол ABC = углу ACB = 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём угол AHB = 90°, угол A = 120°, угол ABH = 90° - 30° = 60°.

Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$$sin A = \frac{BH}{AB}$$

$$sin 120° = \frac{13}{AB}$$

$$AB = \frac{13}{sin 120°} = \frac{13}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{26}{\sqrt{3}} = \frac{26\sqrt{3}}{3}$$

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC = $$\frac{26\sqrt{3}}{3}$$.

Применим теорему косинусов к треугольнику ABC:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos A$$

$$BC^2 = (\frac{26\sqrt{3}}{3})^2 + (\frac{26\sqrt{3}}{3})^2 - 2 \cdot (\frac{26\sqrt{3}}{3}) \cdot (\frac{26\sqrt{3}}{3}) \cdot cos 120°$$

$$BC^2 = 2(\frac{26\sqrt{3}}{3})^2 - 2 (\frac{26\sqrt{3}}{3})^2 \cdot (-0.5)$$

$$BC^2 = 2(\frac{676 \cdot 3}{9}) + (\frac{676 \cdot 3}{9}) = 3(\frac{676 \cdot 3}{9})$$

$$BC^2 = \frac{676 \cdot 9}{9} = 676$$

$$BC = \sqrt{676} = 26$$

Ответ: 26