1.В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины, А равна 9. Найдите длину стороны АС.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и углом B = 120°. Высота, проведённая из вершины A, равна 9. Обозначим высоту, проведённую из вершины A к стороне BC, как AH. AH = 9.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому углы BAC и BCA равны между собой. Сумма углов треугольника равна 180°, значит, углы при основании AC равны:

$$\frac{180° - 120°}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$$

Угол BAC = углу BCA = 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AНB. В нём угол AHB = 90°, угол B = 120°, угол BAH = 90° - 30° = 60°.

Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$$sin B = \frac{AH}{AB}$$

$$sin 30° = \frac{9}{AB}$$

$$AB = \frac{9}{sin 30°} = \frac{9}{0.5} = 18$$

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC = 18.

Применим теорему косинусов к треугольнику ABC:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos B$$

$$AC^2 = 18^2 + 18^2 - 2 \cdot 18 \cdot 18 \cdot cos 120°$$

$$AC^2 = 324 + 324 - 2 \cdot 324 \cdot (-0.5)$$

$$AC^2 = 648 + 324 = 972$$

$$AC = \sqrt{972} = \sqrt{324 \cdot 3} = 18 \sqrt{3}$$

Ответ: $$18\sqrt{3}$$