13. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины 1, равна 5. Найдите длину стороны АС.

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны. Угол B равен 120°, поэтому:

$$\angle A = \angle C = (180° - 120°) / 2 = 60° / 2 = 30°$$

Пусть высота, проведённая из вершины B к стороне AC, равна BH, и BH = 5.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В этом треугольнике угол A равен 30°, а BH - катет, противолежащий этому углу.

$$\sin(\angle A) = BH / AB$$

$$\sin(30°) = 5 / AB$$

Так как \(\sin(30°) = 1/2\), то:

$$1/2 = 5 / AB$$

$$AB = 10$$

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC = 10.

Применим теорему косинусов для нахождения длины стороны AC:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos(\angle B)$$

$$AC^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \times 10 \times 10 \times \cos(120°)$$

Так как \(\cos(120°) = -1/2\), то:

$$AC^2 = 100 + 100 - 2 \times 100 \times (-1/2)$$

$$AC^2 = 200 + 100 = 300$$

$$AC = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$$

Ответ: $$10\sqrt{3}$$