19.4. 1) В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC серединный перпендикуляр стороны AB пересекает основание AC в точке P. Найдите угол C, если \(\angle ABP = 52^\circ\).

Пусть дан равнобедренный треугольник $$ABC$$ с основанием $$AC$$. $$AB = BC$$. Пусть серединный перпендикуляр к стороне $$AB$$ пересекает $$AC$$ в точке $$P$$, и $$\angle ABP = 52^\circ$$. Нужно найти $$\angle C$$. Поскольку серединный перпендикуляр к стороне $$AB$$ проходит через середину $$AB$$ и перпендикулярен ей, то точка $$P$$ равноудалена от точек $$A$$ и $$B$$. Значит, $$AP = BP$$. Следовательно, треугольник $$ABP$$ равнобедренный с основанием $$AB$$, а значит, $$\angle BAP = \angle ABP = 52^\circ$$. $$\angle BAC = \angle BAP = 52^\circ$$. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$, $$\angle BAC = \angle BCA = 52^\circ$$. То есть, $$\angle C = 52^\circ$$. **Ответ: 52°**