В прямоугольном треугольнике CDE с прямым углом при вершине D величина внешнего угла при вершине Е составляет 150° Проведена биссектриса СН длиной 26. Найдите длину катета DE. DE =

1. Угол \(∠CED\) является смежным с внешним углом при вершине E, поэтому: \[∠CED = 180° - 150° = 30°\]
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник CDE. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°: \[∠DCE = 90° - ∠CED = 90° - 30° = 60°\]
3. Биссектриса CH делит угол \(∠DCE\) пополам: \[∠DCH = \frac{1}{2} ∠DCE = \frac{1}{2} ⋅ 60° = 30°\]
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник CDH. В нем: \[\sin(∠DCH) = \frac{DH}{CH}\] Отсюда: \[DH = CH ⋅ \sin(∠DCH) = 26 ⋅ \sin(30°) = 26 ⋅ \frac{1}{2} = 13\]
5. В прямоугольном треугольнике CDE: \[\tan(∠CED) = \frac{CD}{DE}\] Отсюда: \[DE = \frac{CD}{\tan(∠CED)}\]
6. Так как CD = DH = 13, то: \[DE = \frac{13}{\tan(30°)} = \frac{13}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{13 ⋅ 3}{\sqrt{3}} = \frac{13 ⋅ 3 ⋅ \sqrt{3}}{3} = 13\sqrt{3}\]

Ответ: DE = 13\(\sqrt{3}\)