5. В прямоугольном треугольнике АВС угол между биссектрисой СК и высотой СН, проведёнными из вершины прямого угла С, равен 15°. АВ = 12 см. Найдите сторону ВС, если известно, что точка К лежит между А и Н.

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC, ∠C = 90°. CK - биссектриса угла C, а CH - высота, проведённая из вершины C. Угол между CK и CH равен 15°, т.е. ∠HCK = 15°.

Так как CK - биссектриса угла C, то ∠ACK = ∠BCK = 45°.

Тогда ∠BCH = ∠BCK - ∠HCK = 45° - 15° = 30°.

В прямоугольном треугольнике ABC, ∠BCH = 30°, значит, ∠ABC = 30°.

Используем синус угла ABC, чтобы найти сторону AC:

$$sin(∠ABC) = \frac{AC}{AB}$$

$$sin(30°) = \frac{AC}{12}$$

$$AC = 12 * sin(30°) = 12 * \frac{1}{2} = 6$$

Теперь, когда мы знаем AC, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения BC:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

$$12^2 = 6^2 + BC^2$$

$$144 = 36 + BC^2$$

$$BC^2 = 144 - 36 = 108$$

$$BC = \sqrt{108} = \sqrt{36 * 3} = 6\sqrt{3}$$

Ответ: $$BC = 6\sqrt{3}$$ см