7. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота СН к гипотенузе АВ. Известно, что АН = 4 см, ВН = 9 см. Найдите катет AC.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, ∠C = 90°. СН - высота, проведенная к гипотенузе АВ.

2. По теореме о высоте прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла:

$$CH^2 = AH \cdot BH$$ $$CH^2 = 4 \cdot 9 = 36$$ $$CH = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$$

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник АCH. По теореме Пифагора:

$$AC^2 = AH^2 + CH^2$$ $$AC^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$$ $$AC = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13} \text{ см}$$

Ответ: $$2\sqrt{13} \text{ см}$$