В прямоугольном треугольнике АВС катеты равны АВ = 6, AC = 8. Вписанная окружность касается катета АВ в точке L. Отрезок CL пересекает окружность второй раз в точке N. Найдите отношение $$\frac{CN}{NL}$$

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AB = 6 и AC = 8. Тогда гипотенуза BC = 10 (по теореме Пифагора).

Пусть вписанная окружность касается катета AB в точке L. Тогда AL = p - AC, где p - полупериметр треугольника. Полупериметр равен (6 + 8 + 10) / 2 = 12, так что AL = 12 - 8 = 4.

CL пересекает окружность в точке N. Надо найти отношение CN/NL.

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть r - радиус вписанной окружности. Тогда r = S / p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр. Площадь S = (1/2) * 6 * 8 = 24, тогда r = 24 / 12 = 2.

Пусть I - центр вписанной окружности. Тогда IL = r = 2. Точка I лежит на биссектрисе угла A. Пусть координаты точек: A(0, 0), B(6, 0), C(0, 8). Тогда L(4, 0), а I(2, 2). Уравнение прямой CL: y - 8 = (0 - 8) / (4 - 0) * (x - 0), т.е. y - 8 = -2x, y = -2x + 8.

Пусть точка N имеет координаты (x, y). Тогда она лежит на окружности с центром I(2, 2) и радиусом r = 2. Уравнение окружности: (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4. Подставляем y = -2x + 8: (x - 2)^2 + (-2x + 6)^2 = 4, x^2 - 4x + 4 + 4x^2 - 24x + 36 = 4, 5x^2 - 28x + 36 = 0.

Решаем квадратное уравнение: D = 28^2 - 4 * 5 * 36 = 784 - 720 = 64. x1 = (28 + 8) / 10 = 3.6, x2 = (28 - 8) / 10 = 2. Тогда y1 = -2 * 3.6 + 8 = 0.8, y2 = -2 * 2 + 8 = 4. Точка N имеет координаты (3.6, 0.8).

Длина CL = sqrt((4 - 0)^2 + (0 - 8)^2) = sqrt(16 + 64) = sqrt(80) = 4sqrt(5). Длина CN = sqrt((3.6 - 0)^2 + (0.8 - 8)^2) = sqrt(12.96 + 51.84) = sqrt(64.8) = 3.6sqrt(5). Длина NL = sqrt((4 - 3.6)^2 + (0 - 0.8)^2) = sqrt(0.16 + 0.64) = sqrt(0.8) = 0.4sqrt(5).

Отношение CN / NL = (3.6sqrt(5)) / (0.4sqrt(5)) = 9.

Ответ: 9