Биссектриса угла А равностороннего треугольника АВС пересекает описанную окружность в точке К. Точка М – середина стороны ВС. Найдите КМ, если АВ = 1.

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC со стороной $$AB = 1$$. Пусть K - точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC. M - середина стороны BC.

В равностороннем треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают. Биссектриса угла A является также медианой и высотой. Так как треугольник ABC равносторонний, то угол $$BAC = 60^{\circ}$$. Биссектриса угла A делит угол $$BAC$$ пополам, следовательно, угол $$BAK = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$$.

Точка K лежит на описанной окружности треугольника ABC, а точка M является серединой стороны BC. Так как AM - медиана и высота, то $$AM \perp BC$$. Также, в равностороннем треугольнике $$AM$$ является биссектрисой угла $$BAC$$, поэтому точка K лежит на прямой AM.

Так как M - середина BC, то $$BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{1}{2}$$. В прямоугольном треугольнике ABM $$AM = AB \cdot \sin(\angle B) = 1 \cdot \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Центр описанной окружности O лежит на пересечении серединных перпендикуляров, а в равностороннем треугольнике - на медиане AM. Радиус описанной окружности $$R = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$.

Тогда $$AO = R = \frac{\sqrt{3}}{3}$$. $$OM = AM - AO = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$$.

Так как K лежит на окружности, то $$AK = 2R \cdot \cos(30^{\circ}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$$.

Тогда $$KM = AM - AK = \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$$.

Так как K - точка на окружности, а AM - биссектриса, медиана и высота, то $$KM = AM + R$$.

Длина отрезка AK равна радиусу описанной окружности, т.е. $$AK = R = \frac{\sqrt{3}}{3}$$.

Тогда $$KM = AM + AO = R + OM= \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

$$KM = AM + R = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$$.

Так как К - точка пересечения биссектрисы и окружности, то $$AK=R$$. $$AM=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, следовательно, $$KM = AM-AK = \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$$.

Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{6}$$