В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6, cos A = 6√85 / 85. Найдите длину стороны BC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C = 90°, сторона AC является прилежащим катетом к углу A, а сторона BC — противолежащим катетом.

По определению косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

• $$\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}$$

Нам дано, что $$\cos A = \frac{6\sqrt{85}}{85}$$ и $$AC = 6$$. Подставим эти значения:

• $$\frac{6\sqrt{85}}{85} = \frac{6}{AB}$$

Теперь найдем длину гипотенузы AB:

• $$AB = \frac{6}{\frac{6\sqrt{85}}{85}} = 6 \cdot \frac{85}{6\sqrt{85}} = \frac{85}{\sqrt{85}} = \sqrt{85}$$

Теперь, зная AC и AB, мы можем найти BC, используя теорему Пифагора ($$AC^2 + BC^2 = AB^2$$):

• $$6^2 + BC^2 = (\sqrt{85})^2$$
• $$36 + BC^2 = 85$$
• $$BC^2 = 85 - 36$$
• $$BC^2 = 49$$
• $$BC = \sqrt{49} = 7$$

Альтернативно, можно использовать определение тангенса:

• $$\tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC}$$

Для этого нужно сначала найти $$\sin A$$ и $$\tan A$$. Мы знаем $$\cos A = \frac{6\sqrt{85}}{85}$$. Используем основное тригонометрическое тождество $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$:

• $$\sin^2 A = 1 - (\frac{6\sqrt{85}}{85})^2 = 1 - \frac{36 \cdot 85}{85^2} = 1 - \frac{36}{85} = \frac{85 - 36}{85} = \frac{49}{85}$$
• $$\sin A = \sqrt{\frac{49}{85}} = \frac{7}{\sqrt{85}} = \frac{7\sqrt{85}}{85}$$ (так как угол A в прямоугольном треугольнике острый, синус положителен)

Теперь найдем тангенс:

• $$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{7\sqrt{85}}{85}}{\frac{6\sqrt{85}}{85}} = \frac{7}{6}$$

Используя $$\tan A = \frac{BC}{AC}$$:

• $$\frac{7}{6} = \frac{BC}{6}$$
• $$BC = 6 \cdot \frac{7}{6} = 7$$

Ответ: 7