8. В прямоугольнике ABCD на сторонах ВС и AD отмечены точки Е и F так, что BE : EC = 3:4, AF : FD = 2:3. Найдите отношение площадей четырехугольников ABEF и DCEF.

8. Пусть ABCD – прямоугольник. BE : EC = 3:4, AF : FD = 2:3. Обозначим AB = CD = a, BC = AD = b. Тогда BE = (3/7)b, EC = (4/7)b, AF = (2/5)b, FD = (3/5)b.

Площадь прямоугольника ABCD равна S(ABCD) = ab.

Площадь четырехугольника ABEF равна сумме площадей прямоугольника ABEF. Площадь прямоугольника ABEF равна S(ABEF) = a * (AF+BE)/2 = a * (2/5 + 3/7)b / 2 = a * (14+15)/(35*2) * b = a * 29/70 * b = 29/70 * ab

Площадь четырехугольника DCEF равна S(DCEF) = S(ABCD) - S(ABEF) = ab - 29/70 * ab = 41/70 * ab

Отношение площадей четырехугольников ABEF и DCEF равно S(ABEF) / S(DCEF) = (29/70 * ab) / (41/70 * ab) = 29/41

Ответ: 29/41