32. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 известно, что BD1=2AD. Найдите угол между диагоналями DB1 и АС1. Ответ дайте в градусах.

Пусть сторона квадрата основания равна a. Тогда BD1 = 2a. Так как призма правильная, то основание - квадрат, и все боковые грани - прямоугольники. Рассмотрим прямоугольный треугольник BDD1. В нем BD1 = 2a и BD = a\sqrt{2} (диагональ квадрата). Тогда DD1 = \sqrt{BD1^2 - BD^2} = \sqrt{(2a)^2 - (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{4a^2 - 2a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}. Значит, DD1 = BD, следовательно, \angle DBD1 = 45^{\circ}. Теперь рассмотрим диагональ AC1. AC1 = \sqrt{AC^2 + CC1^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{2a^2 + 2a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a. Заметим, что AC1 = BD1, следовательно, призма обладает симметрией относительно этих диагоналей. Угол между диагоналями в правильной четырехугольной призме, где BD1 = 2AD, равен 90 градусам.