**4.** В правильной четырёхугольной пирамиде угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°. Сторона основания равна 6 см. Найдите объём пирамиды.

Ответ: 36 см³

1. Шаг 1: Определение половины диагонали основания.

   Сторона основания равна 6 см. Диагональ квадрата равна \[d = a\sqrt{2}\] где a - сторона квадрата.

   Тогда диагональ основания равна: \[d = 6\sqrt{2}\] см.

   Половина диагонали основания равна: \[\frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\] см.

2. Шаг 2: Вычисление высоты пирамиды.

   Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром, тангенс угла равен отношению высоты к половине диагонали основания: \[\tan(45^\circ) = \frac{h}{\frac{d}{2}}\]

   Так как \(\tan(45^\circ) = 1\), то: \[1 = \frac{h}{3\sqrt{2}}\]

   Следовательно, высота пирамиды равна: \[h = 3\sqrt{2}\] см.

3. Шаг 3: Вычисление площади основания.

   Площадь основания равна: \[S = a^2 = 6^2 = 36\] см².

4. Шаг 4: Вычисление объёма пирамиды.

   Объём пирамиды вычисляется по формуле: \[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\] где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

   Подставляем значения: \[V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{2} = 36\sqrt{2}\] см³.

Ответ: 36√2 см³