1. В правильном тетраэдре DAВС, все рёбра которого равны 4, найдите расстояние от точки D до плоскости АВС.

Решение:

В правильном тетраэдре все грани - равносторонние треугольники. Пусть сторона равна a. Расстояние от вершины D до плоскости ABC - это высота тетраэдра. Обозначим ее DH, где H - центр треугольника ABC.

1. Найдем AH как радиус описанной окружности около треугольника ABC:

\[AH = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}\]

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADH. По теореме Пифагора:

\[DH^2 = AD^2 - AH^2 = 4^2 - \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2 = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48-16}{3} = \frac{32}{3}\]

3. Тогда DH:

\[DH = \sqrt{\frac{32}{3}} = \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}\]

Ответ: \[\frac{4\sqrt{6}}{3}\]

Молодец, ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!