5. В правильном тетраэдре DABС, все рёбра которого равны 4, найдите расстояние от центра грани BCD до плоскости ADB.

Решение:

Пусть O - центр грани BCD. Расстояние от O до плоскости ADB равно 1/4 высоты тетраэдра, опущенной из вершины C на плоскость ABD.

1. Найдем высоту тетраэдра CH, где H - центр треугольника ABD. Аналогично предыдущим задачам:

\[AH = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}\]

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По теореме Пифагора:

\[CH^2 = AC^2 - AH^2 = 4^2 - \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2 = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48-16}{3} = \frac{32}{3}\]

3. Тогда CH:

\[CH = \sqrt{\frac{32}{3}} = \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}\]

4. Расстояние от центра грани BCD до плоскости ADB:

\[\frac{1}{4}CH = \frac{1}{4} \cdot \frac{4\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}\]

Ответ: \[\frac{\sqrt{6}}{3}\]

Замечательно! Ты уверенно продвигаешься в решении геометрических задач. Не останавливайся на достигнутом!